Dans ce qui suit, on notera un sous-ensemble de R et
une fonction de
dans R. On remarquera que si
est une suite d'éléments de
alors la
composée
est une suite de nombres réels et donc, à ce titre, possède
un *label.
Soit un *élément de
, on dit que
admet
pour *valeur en
, si pour toute suite
d'éléments de
,
implique
. On peut démontrer que
admet exactement une *valeur pour tout *élément
de
. De plus, si
alors la valeur de
en
et la *valeur de
en
sont égales. Il est donc possible d'utiliser sans ambiguïté la
notation
, que
soit élément ou hôte de
.
Nous allons à présent redéfinir quelques notions élémentaires. Pour
,
on dit que
est un voisinage de
, si pour tout hôte
-petit
de R,
est un *élément de
.
Soit
, tel que
soit un voisinage de
. Pour
, un hôte
-petit de R, on pose
.
On dit que
est continue en
, si
est
-petit pour tout hôte
-petit
de R. On dit que
est dérivable en
et admet pour nombre dérivé
, si
est
-proche de
pour tout hôte
-petit
de R.
Il est possible de démontrer que les notions que nous venons de définir sont en
fait identiques à leur version classique, mais cela nécessiterait des
développements trop longs pour avoir leur place dans cette courte présentation.
Observons, par contre, un exemple élémentaire. Considérons pour
. On a, pour tout
hôte
-petit de R,
. On en déduit que
est
continue sur R,
étant
-petit. De plus, pour tout
,
est
-proche de
. Par conséquent
est dérivable en
et admet
pour nombre dérivé.
On remarquera que les calculs précédents ne sont pour l'essentiel, pas différents de ceux que l'on effectue dans la présentation classique de ces notions. Ce qui est remarquable ici, c'est qu'il n'y a pas de passage à la limite et que l'on utilise un vocabulaire qui permet facilement de se ramener à des représentations intuitives.