Notion de continuité et de dérivabilité

Dans ce qui suit, on notera $\mathcal{E}$ un sous-ensemble de R et $f$ une fonction de $\mathcal{E}$ dans R. On remarquera que si $u$ est une suite d'éléments de $\mathcal{E}$ alors la composée $f \circ u$ est une suite de nombres réels et donc, à ce titre, possède un *label.

Soit $x$ un *élément de $\mathcal{E}$, on dit que $f$ admet $y$ pour *valeur en $x$, si pour toute suite $u$ d'éléments de $\mathcal{E}$, $x=u_*$ implique $y=(f \circ
u)_*$. On peut démontrer que $f$ admet exactement une *valeur pour tout *élément de $\mathcal{E}$. De plus, si $x \in \mathcal{E}$ alors la valeur de $f$ en $x$ et la *valeur de $f$ en $x$ sont égales. Il est donc possible d'utiliser sans ambiguïté la notation $f(x)$, que $x$ soit élément ou hôte de $\mathcal{E}$.

Nous allons à présent redéfinir quelques notions élémentaires. Pour $x \in \mathcal{E}$, on dit que $\mathcal{E}$ est un voisinage de $x$, si pour tout hôte $\omega$-petit $\Delta x$ de R, $x+\Delta x$ est un *élément de $\mathcal{E}$.

Soit $x \in \mathcal{E}$, tel que $\mathcal{E}$ soit un voisinage de $x$. Pour $\Delta x$, un hôte $\omega$-petit de R, on pose $\Delta f(x, \Delta x) = f(x +\Delta x) - f(x)$. On dit que $f$ est continue en $x$, si $\Delta f(x, \Delta x)$ est $\omega$-petit pour tout hôte $\omega$-petit $\Delta x$ de R. On dit que $f$ est dérivable en $x$ et admet pour nombre dérivé $a$, si $\Delta
f(x, \Delta x)\;/\;\Delta x$ est $\omega$-proche de $a$ pour tout hôte $\omega$-petit $\Delta x$ de R.

Il est possible de démontrer que les notions que nous venons de définir sont en fait identiques à leur version classique, mais cela nécessiterait des développements trop longs pour avoir leur place dans cette courte présentation. Observons, par contre, un exemple élémentaire. Considérons $f(x)=x^2$ pour $x \in \textbf{R}$. On a, pour tout $\Delta x$ hôte $\omega$-petit de R, $\Delta
f(x, \Delta x) = 2x \cdot \Delta x + (\Delta x)^2$. On en déduit que $f$ est continue sur R, $\Delta f(x,\Delta x)$ étant $\omega$-petit. De plus, pour tout $x \in \textbf{R}$, $\Delta f(x, \Delta x)\;/\;\Delta x = 2x + \Delta x$ est $\omega$-proche de $2x$. Par conséquent $f$ est dérivable en $x$ et admet $2x$ pour nombre dérivé.

On remarquera que les calculs précédents ne sont pour l'essentiel, pas différents de ceux que l'on effectue dans la présentation classique de ces notions. Ce qui est remarquable ici, c'est qu'il n'y a pas de passage à la limite et que l'on utilise un vocabulaire qui permet facilement de se ramener à des représentations intuitives.


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