Dans ce qui suit, on notera un sous-ensemble de R et une fonction de dans R. On remarquera que si est une suite d'éléments de alors la composée est une suite de nombres réels et donc, à ce titre, possède un *label.
Soit un *élément de , on dit que admet pour *valeur en , si pour toute suite d'éléments de , implique . On peut démontrer que admet exactement une *valeur pour tout *élément de . De plus, si alors la valeur de en et la *valeur de en sont égales. Il est donc possible d'utiliser sans ambiguïté la notation , que soit élément ou hôte de .
Nous allons à présent redéfinir quelques notions élémentaires. Pour , on dit que est un voisinage de , si pour tout hôte -petit de R, est un *élément de .
Soit , tel que soit un voisinage de . Pour , un hôte -petit de R, on pose . On dit que est continue en , si est -petit pour tout hôte -petit de R. On dit que est dérivable en et admet pour nombre dérivé , si est -proche de pour tout hôte -petit de R.
Il est possible de démontrer que les notions que nous venons de définir sont en fait identiques à leur version classique, mais cela nécessiterait des développements trop longs pour avoir leur place dans cette courte présentation. Observons, par contre, un exemple élémentaire. Considérons pour . On a, pour tout hôte -petit de R, . On en déduit que est continue sur R, étant -petit. De plus, pour tout , est -proche de . Par conséquent est dérivable en et admet pour nombre dérivé.
On remarquera que les calculs précédents ne sont pour l'essentiel, pas différents de ceux que l'on effectue dans la présentation classique de ces notions. Ce qui est remarquable ici, c'est qu'il n'y a pas de passage à la limite et que l'on utilise un vocabulaire qui permet facilement de se ramener à des représentations intuitives.