Conclusion

De prime abord, les nombres surréels peuvent sembler plutôt déroutants. En les observant de plus près, on constate que leur construction n'est en fait pas plus technique que celle, classique, de l'ensemble des nombres réels. De plus, si on se restreint à des cas simples (les fractions rationnelles d'indéterminée $\omega$, par exemple), leur manipulation ne pose pas de difficultés particulières.

Nous avons pu observer de plus qu'ils permettent de définir, de manière simple et rigoureuse, des notions comme celle de quantité infiniment petite ou celle de nombres infiniment proches. Ces concepts, presque absents de l'analyse moderne, étaient pourtant à la base des intuitions des créateurs du calcul différentiel et intégral. On peut penser qu'il y aurait avantage à tenter de les réintroduire, en particulier, dans l'enseignement élémentaire de cette discipline.

La théorie des nombres surréels est un domaine riche et fécond des mathématiques contemporaines. Dans le domaine de la théorie des nombres, des résultats remarquables méritent d'être cités. Il existe, par exemple, une notion de surentier étendant la notion d'entier ($\omega$ en est un, entre autres) et il est établi que tout nombre surréel est le quotient de deux surentiers. Il est également possible de définir l'exponentielle d'un nombre surréel quelconque ainsi que le logarithme d'un nombre surréel strictement positif. Ces relations fonctionnelles vérifient les propriétés usuelles de l'exponentielle et du logarithme réels et de plus, en constituent des extensions. Il semble probable que de telles notions puissent à l'avenir trouver une application en analyse non standard.