De manière informelle, un nombre surréel est, selon Gonshor, une suite de
et de
(éventuellement vide). Nous ne considérerons pour l'instant que
des suites finies que nous noterons en les entourant de crochets. Soit
et
deux nombres surréels de longueur finie, on dit que
est un
segment initial de
si
est plus court que
ou de
longueur égale et si les signes composant
se trouvent à l'identique au
début de
. (La suite vide
est segment initial de tout nombre
surréel.) Par exemple
est un segment initial de
. Le
segment initial commun de deux nombres surréels de longueur finie
et
, est le plus long nombre surréel qui soit à la fois segment
initial de
et de
. Par exemple, le segment initial commun de
et de
est
.
La notion de segment initial commun permet de définir pour les nombres surréels
une relation d'ordre total de nature lexicographique. Soit et
deux nombres surréels de longueur finie. Si
et
sont
différents alors l'un au moins des deux nombres surréels est plus long que leur
segment initial commun. Supposons que ce soit
et considérons pour
le signe venant immédiatement après leur segment initial commun. Si ce
signe est un
, on pose
, si ce signe est un
, on pose
. Voici, à titre d'exemple, les nombres surréels de longueur
inférieure ou égale à 3, classés dans l'ordre croissant :
Théorème Soit E et F deux ensembles de nombres surréels de longueur
finie tels que si E et
F alors
. Il existe un unique nombre
surréel
de longueur minimale tel que si
E alors
et si
F alors
.
On note ce nombre
. Par exemple, si