Nombres surréels de longueur finie

De manière informelle, un nombre surréel est, selon Gonshor, une suite de et de (éventuellement vide). Nous ne considérerons pour l'instant que des suites finies que nous noterons en les entourant de crochets. Soit $\alpha$ et $\beta$ deux nombres surréels de longueur finie, on dit que $\alpha$ est un segment initial de $\beta$ si $\alpha$ est plus court que $\beta$ ou de longueur égale et si les signes composant $\alpha$ se trouvent à l'identique au début de $\beta$ . (La suite vide $[\kern5pt]$ est segment initial de tout nombre surréel.) Par exemple est un segment initial de . Le segment initial commun de deux nombres surréels de longueur finie $\alpha$ et $\beta$ , est le plus long nombre surréel qui soit à la fois segment initial de $\alpha$ et de $\beta$ . Par exemple, le segment initial commun de et de est .

La notion de segment initial commun permet de définir pour les nombres surréels une relation d'ordre total de nature lexicographique. Soit $\alpha$ et $\beta$ deux nombres surréels de longueur finie. Si $\alpha$ et $\beta$ sont différents alors l'un au moins des deux nombres surréels est plus long que leur segment initial commun. Supposons que ce soit $\alpha$ et considérons pour $\alpha$ le signe venant immédiatement après leur segment initial commun. Si ce signe est un , on pose $\alpha < \beta$ , si ce signe est un , on pose $\alpha>\beta$ . Voici, à titre d'exemple, les nombres surréels de longueur inférieure ou égale à 3, classés dans l'ordre croissant :

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$[\kern5pt]$ ;

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Théorème Soit E et F deux ensembles de nombres surréels de longueur finie tels que si $a \in$ E et $b \in$ F alors . Il existe un unique nombre surréel de longueur minimale tel que si $a \in$ E alors et si $b \in$ F alors .

On note ce nombre $\textrm{E}\downarrow\textrm{F}$ . Par exemple, si

$\begin{displaymath}\textrm{E}=\{[\kern5pt] ; [+]\} \quad\textrm {et}\quad \textrm{F}=\{[++] ; [+++]\},\end{displaymath}$

en utilisant la liste précédente, on obtient $\textrm{E}\downarrow\textrm{F}=[++-]$ .