Sommes de nombres surréels

Nous allons à présent introduire les notations qui nous seront nécessaires pour définir les opérations élémentaires. Pour un nombre surréel de longueur finie $x$, on note G$(x)$ l'ensemble des segments initiaux de $x$ qui lui sont strictement inférieurs et D$(x)$ l'ensemble des segments initiaux de $x$ qui lui sont strictement supérieurs. Ainsi G $( [++-] )=\{ [\;] ; [+] \}$ et D $( [++-] )=\{ [++] \}$. Ces deux ensembles constituent la représentation canonique de $x$. En particulier, on a $x=\textrm{G}(x)\downarrow\textrm{D}(x)$.

Pour $a$ et $b$ deux nombres surréels de longueur finie, on définit ( 5 ) :

$$\begin{eqnarray*} a + b = & & (\{ x + b \mid x \in \textrm{G}(a)\} \cup \{ a + y... ...x \in \textrm{D}(a)\} \cup \{ a + y \mid y \in \textrm{D}(b)\}). \end{eqnarray*}$$

Notons 0 le nombre surréel $[\;]$ et 1 le nombre surréel $[+]$ et observons quelques exemples : $\textrm{G}(0) = \textrm{D}(0) = \varnothing$ ; $\textrm{G}(1) = \{0\}$ et $\textrm{D}(1) = \varnothing$, ainsi $0 + 0 = 0$ et $1 + 0 = \{0\} \downarrow \varnothing = 1$. De même $0 + 1 = 1$ et

$$1 + 1 = (\{ 0 + 1 \} \cup \{ 1 + 0 \}) \downarrow \varnothing... ...ownarrow \varnothing = \{ [+] \} \downarrow \varnothing = [++],$$

qu'il est naturel de noter 2.

On démontre que l'addition ainsi définie est commutative et associative et que 0 en est l'élément neutre. De plus, si $x$ est un nombre surréel son opposé, noté $-x$, est le nombre obtenu en remplaçant les $+$ par des $-$ et les $-$ par des $+$. En particulier, il existe un morphisme de groupes injectif entre $(\textbf{ Z} , +)$ et l'ensemble des nombres surréels de longueur finie muni de cette opération : un nombre entier positif $n$ correspond à la suite formée de $n$ signes $+$, un nombre entier négatif $n$ correspond à la suite formée de $-n$ signes $-$.

Notes

... définit ( 5 )

On remarquera qu'il s'agit ici d'une définition par récurrence, le terme $x$ dans la somme $x+b$ étant de longueur strictement inférieure à $a$, le terme $y$ dans la somme $a+y$ de longueur strictement inférieure à $b$.