Produits de nombres surréels

Pour $a$ et $b$ deux nombres surréels de longueur finie, on définit ( 6 ) :

$$\begin{eqnarray*} a\cdot b = & & (\{ x \cdot b + a \cdot y - x \cdot y \mid x \i... ...y - x \cdot y \mid x \in \textrm{D}(a), y \in \textrm{G}(b)\}). \end{eqnarray*}$$

Nous laisserons au lecteur le soin de vérifier que pour tout nombre surréel $x$ de longueur finie, $0 \cdot x = x \cdot 0 = 0$ et $1 \cdot x = x \cdot 1 = x$.

Observons un premier exemple : $\textrm{G}(2) = \{0 ; 1\}$ et $\textrm{D}(2) = \varnothing$, ainsi

$$2 \cdot 2 = \{0 ; 2 ; 3\} \downarrow \varnothing = [+++ +] = 4.$$

Considérons, à présent, le nombre surréel $x=[+-]$. Nous avons $\textrm{G}(x) = \{0\}$ et $\textrm{D}(2) = \{1\}$, ainsi

$$2 \cdot x = \{0 ; x\} \downarrow \{x+1 ; 2\}.$$

On établit facilement que $x+1=[++-]$ et on en déduit que $2 \cdot x = 1$. Il paraît naturel de noter $\frac{1}{2}$ le nombre $x$.

Plus généralement, on démontre que l'ensemble des nombres surréels de longueur finie muni de l'addition et de la multiplication précédemment définies est un anneau commutatif isomorphe à l'anneau des rationnels dyadiques ( 7 ).

Considérons $f$ l'application de l'ensemble des nombres surréels de longueur finie vers l'ensemble des rationnels dyadiques qui réalise cet isomorphisme. Si $x$ désigne un nombre surréel non nul de longueur finie $n$, notons $x_i$, où $i \in \textbf{N}$ et $i \leqslant n$, le signe de rang $i$ dans la suite constituant $x$.

Théorème    Si $x$ est constitué d'une seule sorte de signe, on pose $m=n$. Sinon, soit $m$ le plus petit entier naturel tel que $x_0 \neq x_m$. Soit $i$ un entier naturel. On pose :

• pour $i < m$, $u_i = 1$, si $x_i = +$ et $u_i = -1$, si $x_i = -$ ;
• pour $m \leqslant i < n$, $u_i = 2^{m - i - 1}$, si $x_i = +$ et $u_i = -2^{m - i -1}$, si $x_i = -$.

On a alors $${f(x) =\sum_{i=0}^{n-1}u_i}$$.

Par exemple, la séquence $[- - + +]$ égale $(-1) + (-1) + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ , c'est-à-dire $- \frac{5}{4}$.

Notes

... définit ( 6 )

Il s'agit là aussi d'une définition par récurrence.

... dyadiques ( 7 )

Un rationnel dyadique est un nombre rationnel qui peut s'écrire comme le quotient d'un entier et d'une puissance de 2.