Pour et
deux nombres surréels de longueur finie, on définit (
6 ) :
Nous laisserons au lecteur le soin de vérifier que pour tout nombre surréel
de longueur finie,
et
.
Observons un premier exemple :
et
, ainsi
Plus généralement, on démontre que l'ensemble des nombres surréels de longueur finie muni de l'addition et de la multiplication précédemment définies est un anneau commutatif isomorphe à l'anneau des rationnels dyadiques ( 7 ).
Considérons l'application de l'ensemble des nombres surréels de longueur
finie vers l'ensemble des rationnels dyadiques qui réalise cet isomorphisme. Si
désigne un nombre surréel non nul de longueur finie
, notons
, où
et
, le signe de rang
dans la suite constituant
.
Théorème Si est constitué d'une seule sorte de signe, on pose
. Sinon, soit
le plus petit entier naturel tel que
. Soit
un entier naturel. On pose :
On a alors
.
Par exemple, la séquence égale
, c'est-à-dire
.