Notion d'ordinal

Pour généraliser notre approche, il est nécessaire à présent de pouvoir considérer des séquences infinies de $+$ et de $-$. C'est le concept d'ordinal qui va nous permettre de réaliser une telle extension. De nos jours, cette notion, bien que très naturelle dans le cadre de la théorie des ensembles, a quasiment disparu de l'enseignement des mathématiques. Nous allons donc poursuivre notre découverte des nombres surréels en étudiant la définition des ordinaux et quelques unes de leurs propriétés essentielles. Il ne s'agit ici que d'une courte introduction à ce sujet, le lecteur trouvera de plus amples informations dans l'ouvrage de J.-L. Krivine [5] ou dans celui de A. Levy [6].

On dit d'une relation d'ordre sur un ensemble $\alpha$ que c'est une relation de bon ordre si toute partie non vide de $\alpha$ possède un plus petit élément. Une conséquence immédiate de ceci est qu'une relation de bon ordre est une relation d'ordre total (il suffit de considérer toutes les parties de $\alpha$ comportant exactement deux éléments). Un ordinal est un ensemble $\alpha$ tel que :

• l'appartenance soit une relation d'ordre strict et de bon ordre sur $\alpha$,
• $x \in \alpha$ entraîne $x \subset \alpha$.

Observons pour commencer quelques propriétés élémentaires que nous justifierons (ou pour lesquelles nous donnerons le point essentiel de la démonstration).

• Tous les éléments d'un ordinal $\alpha$ sont des ordinaux.-- Si $\beta\in\alpha$ alors l'appartenance est un bon ordre sur $\beta$ puisque $\beta\subset\alpha$. De plus, si $\gamma\in\beta$ et $\delta\in\gamma$ alors $\gamma\in\alpha$, puisque $\beta\subset\alpha$ ; donc $\delta\in\alpha$, puisque $\gamma\subset\alpha$ ; ainsi $\delta\in\beta$. En d'autres termes, si $\gamma\in\beta$ alors $\gamma\subset\beta$.
• Si $\alpha$ est un ordinal alors $\alpha\notin\alpha$.-- En effet si $\beta\in\alpha$ alors $\beta\notin\beta$ puisque l'appartenance est une relation d'ordre strict sur $\alpha$. Par conséquent, si $\alpha\in\alpha$ alors $\alpha\notin\alpha$, ce qui est contradictoire ( 8 ).
• Sur un ensemble non vide d'ordinaux, l'appartenance est une relation d'ordre total strict (que l'on note habituellement < ).-- Pour établir ceci, il suffit de considérer deux ordinaux $\alpha$ et $\beta$ et de montrer en observant l'ensemble $\alpha\cap\beta$ que soit $\alpha = \beta$, soit $\alpha\in\beta$, soit $\beta\in\alpha$.
• La collection des ordinaux n'est pas un ensemble.-- Le principe consiste ici à montrer que si la collection des ordinaux est un ensemble alors elle est un ordinal et donc elle s'appartient elle-même ce qui est contradictoire.

Passons aux premiers exemples : l'ensemble vide est le plus petit ordinal. En tant qu'ordinal, on le note 0. Si $\alpha$ est un ordinal alors l'ensemble $\alpha \cup \{ \alpha \}$ est le plus petit ordinal supérieur à $\alpha$. On le nomme successeur de $\alpha$ et on le note $\alpha + 1$. Ainsi les ensembles $\{\varnothing\}$, $\{\varnothing ; \{\varnothing\}\}$, $\{\varnothing ; \{\varnothing\} ; \{\varnothing ; \{\varnothing\}\}\}$, etc. sont des ordinaux, nommés ordinaux finis. On les note respectivement 1, 2, 3, etc. ( 9 )

Un ordinal non nul $\alpha$ est un ordinal limite, s'il ne possède pas de prédécesseur, c'est-à-dire s'il n'existe pas d'ordinal $\beta$ tel que $\alpha = \beta + 1$. Un ordinal $\alpha$ est infini s'il existe un ordinal limite $\beta\leqslant\alpha$. L'existence d'ordinaux infinis est la conséquence directe de l'un des axiomes de la théorie des ensembles. On démontre que la collection des ordinaux finis, noté $\omega$, est le plus petit ordinal infini ( 10 ).

Si l'on comprend aisément à quoi correspondent les ordinaux notés $\omega + 1$, $\omega + 2$, $\omega + 3$ ... la question se pose de savoir si l'on peut donner un sens à l'expression $\omega + \omega$.

Propriété    Si A est un ensemble non vide d'ordinaux, alors A possède une borne supérieure $\beta$, qui de plus vérifie $\beta = \bigcup\limits_{\alpha \in \textrm{A}}\alpha$.

On définit ainsi l'addition naturelle ( 11 ) de deux ordinaux $\alpha$ et $\beta$ comme suit. Pour $\alpha\geqslant\beta$, on pose :

• $\alpha + \beta = \alpha$, si $\beta = 0$,
• $\alpha + \beta = (\alpha + \gamma) + 1$, si $\beta$ possède un prédécesseur $\gamma$,
• $\alpha + \beta = \bigcup\limits_{\gamma \in \beta}(\alpha + \gamma)$, si $\beta$ est un ordinal limite ;

sinon on pose : $\alpha + \beta = \beta + \alpha$.

On définit, de la même manière, une multiplication naturelle, ce qui permet de donner un sens à des expressions telles $2\cdot\omega$ ou $\omega^2$. Ainsi dotés d'une addition et d'une multiplication, les ordinaux peuvent être considérés comme une extension des entiers naturels. Le principe de récurrence lui-même connaît un prolongement nommé principe d'induction :

Considérons un énoncé $\psi$ à une variable libre. Pour démontrer que $\psi(\alpha)$ est vrai pour tout ordinal $\alpha$ il suffit de montrer que pour tout ordinal $\alpha$, si $\psi(\beta)$ est vrai pour tout $\beta<\alpha$ alors $\psi(\alpha)$ est vrai.

Ce principe nous assure entre autres de la possibilité de poser des définitions par induction sur les ordinaux de même qu'il est possible de poser des définitions par récurrence sur les entiers naturels.

Notes

... contradictoire ( 8 )

Cette propriété peut paraître surprenante, mais il est à noter que le théorème : pour tout ensemble $x$, $x\notin x$, est une conséquence de l'axiome de fondation et que ce dernier est absent des versions les plus faibles de la théorie axiomatique des ensembles.

... etc. ( 9 )

On remarquera que 1 = 0 + 1, 2 = 1 + 1, etc.

... infini ( 10 )

Par conséquent, un ordinal est soit fini, soit infini.

... naturelle ( 11 )

À distinguer de l'addition ordinaire qui n'est pas commutative.