La collection des nombres surréels

Un nombre surréel $x$ est une application d'un ordinal noté $\lambda(x)$ dans l'ensemble $\{ + ; - \}$. L'ordinal $\lambda(x)$ est la longueur de $x$. Les définitions de l'addition et de la multiplication des nombres surréels sont identiques à celles données pour les nombres surréels de longueur finie, simplement il ne s'agit plus de définitions par récurrence mais de définitions par induction.

Précisons par ailleurs que la collection des nombres surréels contient la collection des ordinaux : si $\alpha$ est un ordinal, le nombre surréel qui lui correspond est la séquence de longueur $\alpha$ formée exclusivement de $+$. Ceci implique entre autres que la collection des nombres surréels n'est pas un ensemble. L'addition et la multiplication des nombres surréels restreintes aux ordinaux sont respectivement identiques à l'addition et la multiplication naturelles des ordinaux.

Théorème    La collection des nombres surréels munie de l'addition et de la multiplication forme un corps ordonné ( 12 ).

Un nombre réel est un nombre surréel de longueur finie ou un nombre surréel $x$ de longueur $\omega$ tel que pour tout $n \in \textbf{N}$, il existe deux entiers naturels $p$ et $q$ supérieurs à $n$ vérifiant $x(p) \neq x(q)$. On démontre que la collection des nombres réels ainsi définis forme un sous-corps isomorphe au corps $\textbf{R}$ des nombres réels construits de manière classique (c'est-à-dire à partir du corps $\textbf{Q}$ des nombres rationnels). On remarquera que, à la différence de la démarche habituellement utilisée, il n'est pas nécessaire ici de doter l'ensemble des nombres réels d'opérations, celles ci étant déjà définies.

La collection des nombres surréels peut, en quelque sorte, être considérée comme un corps ordonné universel. En effet, nous pouvons énoncer le théorème suivant, démontré par J. H. Conway [1].

Théorème    Si K est un corps ordonné étendant R alors K est isomorphe (en tant que corps ordonné) à un sous-corps de la collection des nombres surréels.



Notes

... ordonné ( 12 )
La collection des nombres surréels n'étant pas un ensemble, cette assertion signifie simplement qu'elle vérifie les axiomes relatifs aux corps ordonnés.

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