Un nombre surréel est une application d'un ordinal noté
dans l'ensemble
. L'ordinal
est la longueur de
. Les définitions de l'addition et de la multiplication des nombres surréels
sont identiques à celles données pour les nombres surréels de longueur finie,
simplement il ne s'agit plus de définitions par récurrence mais de définitions
par induction.
Précisons par ailleurs que la collection des nombres surréels contient la
collection des ordinaux : si est un ordinal, le nombre surréel qui lui
correspond est la séquence de longueur
formée exclusivement de
.
Ceci implique entre autres que la collection des nombres surréels n'est pas un
ensemble. L'addition et la multiplication des nombres surréels restreintes aux
ordinaux sont respectivement identiques à l'addition et la multiplication
naturelles des ordinaux.
Théorème La collection des nombres surréels munie de l'addition et de la multiplication forme un corps ordonné ( 12 ).
Un nombre réel est un nombre surréel de longueur finie ou un nombre
surréel de longueur
tel que pour tout
, il existe deux
entiers naturels
et
supérieurs à
vérifiant
. On
démontre que la collection des nombres réels ainsi définis forme un sous-corps
isomorphe au corps
des nombres réels construits de manière classique
(c'est-à-dire à partir du corps
des nombres rationnels). On
remarquera que, à la différence de la démarche habituellement utilisée, il n'est
pas nécessaire ici de doter l'ensemble des nombres réels d'opérations, celles ci
étant déjà définies.
La collection des nombres surréels peut, en quelque sorte, être considérée comme un corps ordonné universel. En effet, nous pouvons énoncer le théorème suivant, démontré par J. H. Conway [1].
Théorème Si K est un corps ordonné étendant R alors K est isomorphe (en tant que corps ordonné) à un sous-corps de la collection des nombres surréels.