La collection des nombres surréels contient en particulier l'ordinal .
C'est donc un infiniment grand positif, puisqu'il est supérieur à tout nombre
réel. Nous allons, afin de pouvoir effectuer des calculs sur ce nombre, énoncer
les deux théorèmes de cofinalité.
Notons
et
deux
couples d'ensembles de nombres surréels. On dit que
est cofinal dans
si pour tout
, il existe
tel que
et si pour tout
, il existe
tel que
.
Théorème 1 Si
et
sont mutuellement cofinaux l'un dans l'autre,
alors
.
Théorème 2 Soit un nombre surréel. Si
, si quels que soient
et
,
, enfin si
est
cofinal dans
, alors
.
Déterminons, à titre d'exemple, à quelle séquence correspond . On
remarque que
et
, de
plus on rappelle que
et
.
Ainsi
Observons, de même, à quelle séquence correspond
. On
rappelle que
et
.
Ainsi
Pour conclure sur les calculs concernant , voici deux autres résultats
(un peu plus difficiles à obtenir) :
Soit le nombre surréel correspondant à la séquence de longueur
commençant par un
puis formée exclusivement de
. On constate
aisément que le nombre
est infiniment petit, plus précisément que
c'est le seul infiniment petit positif de longueur
.
Démontrons que est l'inverse de
. Nous allons pour cela
déterminer le produit
. On a
et
(en utilisant le théorème du
paragraphe 4 de la première partie). Par conséquent
Nous allons utiliser le théorème 2 pour conclure. Nous avons
. De plus,
étant infiniment petit,
alors pour tout entier naturel
,
. En outre, il est
aisé d'établir que
est
infiniment grand et donc que pour
et
, entiers naturels, ce nombre est
supérieur à 1. Enfin, la condition de cofinalité est évidemment vérifiée
puisque, pour tout entier naturel
,
. Ainsi
.
Voici, à propos de , deux autres résultats que le lecteur pourra,
s'il le souhaite, essayer de retrouver :