Un nombre surréel est
-petit si pour tout
,
. Un nombre surréel non nul
est
-grand si son
inverse est
-petit. (On conviendra que 0 n'est pas
-grand.) On
démontre aisément que 0 est le seul réel
-petit et qu'aucun réel n'est
-grand, R étant archimédien.
Deux nombres surréels et
sont
-proches l'un de l'autre si
est
-petit. Il est immédiat qu'aucun nombre réel n'est
-proche
d'un autre nombre réel. Nous avons également la :
Propriété Tout nombre surréel est -proche d'au plus un nombre
réel.
Démonstration Soit un nombre surréel
-proche de deux
nombres réels
et
. Les nombres
et
sont
-petits. Leur
somme
est donc
-petite. Or
est un nombre réel, donc
. Par conséquent,
.
Le lecteur pourra s'il le souhaite démontrer le :
Corollaire Un nombre surréel est -proche d'un nombre réel si et
seulement si aucun autre réel n'est situé entre eux.