Nombres omega-petits et omega-grands

Un nombre surréel $x$ est $\omega$-petit si pour tout $n \in \textbf{N}$, $-1 < nx < 1$. Un nombre surréel non nul $x$ est $\omega$-grand si son inverse est $\omega$-petit. (On conviendra que 0 n'est pas $\omega$-grand.) On démontre aisément que 0 est le seul réel $\omega$-petit et qu'aucun réel n'est $\omega$-grand, R étant archimédien.

Deux nombres surréels $x$ et $y$ sont $\omega$-proches l'un de l'autre si $x-y$ est $\omega$-petit. Il est immédiat qu'aucun nombre réel n'est $\omega$-proche d'un autre nombre réel. Nous avons également la :

Propriété    Tout nombre surréel est $\omega$-proche d'au plus un nombre réel.

Démonstration    Soit $x$ un nombre surréel $\omega$-proche de deux nombres réels $y$ et $z$. Les nombres $y-x$ et $x-z$ sont $\omega$-petits. Leur somme $y-z$ est donc $\omega$-petite. Or $y-z$ est un nombre réel, donc $y-z=0$. Par conséquent, $y=z$.

Le lecteur pourra s'il le souhaite démontrer le :

Corollaire    Un nombre surréel est $\omega$-proche d'un nombre réel si et seulement si aucun autre réel n'est situé entre eux.