Suites et *labels

Nous allons observer à présent la partie la plus délicate de la construction de Davidon. On peut démontrer qu'à toute suite de nombres réels $u$, il est possible d'associer un nombre surréel, noté $u_*$ et nommé *label de $u$, vérifiant les conditions suivantes.

Soit $u$, $v$ et $w$ trois suites de nombres réels et soit $x \in \textbf{R}$.

• Si $u=v+w$ alors $u_*=v_*+w_*$.
• Si $u=v \cdot w$ alors $u_*=v_* \cdot w_*$.
• Si pour tout $n \in \textbf{N}$, $u_n = x$ alors $u_* = x$.
• Si pour tout $n \in \textbf{N}$, $u_n = n$ alors $u_*$ est $\omega$-grand.

La démonstration de l'existence d'un *label pour toute suite de nombres réels est assez technique et utilise l'axiome du choix. Elle repose essentiellement sur l'existence d'un anneau quotient de l'anneau des suites réelles qui s'avère être un corps ordonné étendant R et donc un sous-corps de la collection des nombres surréels.

La notion de *label peut être conçue comme une extension de la notion de limite de suite. En particulier, on démontre que des suites convergeant vers un nombre réel ont des *labels $\omega$-proches de ce nombre réel et réciproquement. Il est également possible de démontrer que des suites ayant des *labels différents, diffèrent par une infinité de termes.